Инверзија

Аполонијеви проблеми о додиру кругова

* Аполонијев проблем

У еуклидској геометрији равни Аполонијев проблем гласи: конструисати кругове који додирују три дата круга у равни. Аполоније из Перге (262 пре н.е – 190 пре н.е) поставио је и решио овај чувени проблем у свом раду Epaphaí, ("Tangencies"). Овај његов рад је био изгубљен али приказ овог резултата који је приредио Pappus из Александрије је сачуван.
У општем случају за три дата круга постоји осам кругова који их додирују (слика - дати кругови су обојени црном бојом).

Овај проблем је био интересантан многим математичарима: Аndriaan van Roomen-у (решио је овај проблем користећи хиперболе које се секу, али ово решење не подразумева само конструкције користеши само лењир и шестар), Viete-у (пронашао је решење изучавајући граничне слуцајеве), Newton-у, неки су га решавали користећи алгебарске методе, Joseph Diaz Gerggone (пронашао је решење користећи симетрију), док су други математичари користили геометријске трансформације као што је инверзија да би упростили положај датих кругова.
Аполонијев проблем је стимулисао многа друга проучавања. Уопштење на три димензије- конструкције сфере тангентне на четири дате сфере. Descart је дао решење у специјалном случају када се дати кругови додирују, тај резултат је познат као Декартова теорема.
Гранични случајеви Аполонијевог проблема су они у којима је бар један од датих кругова тачка или права, и они се на елегантан начин могу решити применом инверзије. Прецизније то су проблеми следећег облика:

Конструисати круг $k$ који задовољава три услова од којих је сваки једног од облика:

садржи дату тачку

додирује дату праву

додирује дати круг.

Претпоставља се да у све тачке, праве и кругови из поменутих услова у истој равни. Лако је закључити да има десет Аполонијевих проблема и то су:

1) Конструисати круг који садржи три дате тачке ( $A, B, C$ ).
2) Конструисати круг који садржи две дате тачке и додирује дату праву ( $A, B, p$ ).
3) Конструисати круг који садржи две дате тачке и додирује дати круг ( $A, B, k_{1}$ ).
4) Конструисати круг који садржи дату тачку и додирује дате две праве ( $A, p, q$ ).
5) Конструисати круг који садржи дату тачку и додирује дату праву и дати круг ( $A, p, k_{1}$ ).
6) Конструисати круг који садржи дату тачку и додирује дата два круга ( $A, k_{1}, k_{2}$ ).
7) Конструисати круг који додирује дате три праве ( $p, q, r$ ).
8) Конструисати круг који додирује дате две праве и дати круг ( $p, q, k_{1}$ ).
9) Конструисати круг који додирује дату праву и дата два круга ( $A, k_{1}, k_{2}$ ).
10) Конструисати круг који додирује дата три круга ( $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ ).

Приметимо да смо први и седми проблем сретали раније. Први проблем се односи на круг описан око △

ABC

, а седми на круг уписан у троугао △

ABC

, као и на његове споља приписане кругове.

И сви остали проблеми се могу решити без коришћења инверзије. Али инверзија даје општи метод за њихово решавање који се састоји у томе да се одабере погодна инверзија којом се што већи број кругова пресликава у праве и на тај начин конструкција се своди на аналогну конструкцију са правама.
Нећемо разматрати специјалан положај задатих елемената, већ ћемо разматрати само конструкције које се односе на општи положај. Означимо тражени круг са

k

Основне конструкције које ћемо користити су:

конструкција инверзне слике тачке
конструкција инверзне слике праве
конструкција инверзне слике круга.

2) Конструисати круг који садржи две дате тачке и додирује дату праву ( $A, B, p$ ).

Разматраћемо случај када су

A

B

са исте стране праве

p

. Уочићемо инверзију у односу на круг

l(A,AB)

чији је центар

A

и који садржи тачку

B

. Oдредићемо слику праве

p

.
Како центар инверзије

А

не припада правој

p

, то је

p' = ψ_{l} (p)

круг који садржи центар

А

и садржи пресечне тачке круга

l

и праве

p

. Како центар инверзије

А

∈

k

, следи да је

k' = ψ_{l} (k)

права. Из

B

∈

k

B

∈

l

закључујемо да је

B'=B

.
И како се

k

p

додирују, добијамо да је

k'

права која је тангента из

B

на

p'

. Означимо додирну тачку

k'

p'

са

D'

. Сада можемо одредити

k

. То је круг који садржи тачке

А

B

и тачку

D

која је инверзна слика тачке

D'

. На сличан начин решавамо и трећи проблем:

3) Конструисати круг који садржи две дате тачке и додирује дати круг ( $A, B, k_{1}$ ).

Уочимо круг

l(A,AB)

и посматрајмо инверзију у односу на тај круг

ψ_{l}

Како круг

k

садржи центар инверзије

A

то је његова слика права

k'

, и то је права одређена пресечним тачкама

B

C

кругова

k

l

. А како круг

k_{1}

не садржи центар инверзије он се слика у круг

k_{1}

који такође не садржи центар инверзије. Приметимо још да се додирна тачка

Т

кругова

k_{1}

k

слика у додирну тачку

Т'

праве

k'

и круга

k_{1}

. Дакле, круг

k

је сад могуће конструисати као круг који садржи тачке

А

B

C

, где је

C

пресечна тачка круга

l

и тангенте тачке

B

на круг

k_{1}

.

5) Конструисати круг који садржи дату тачку и додирује дату праву и дати круг ( $A, p, k_{1}$ ).

Разматраћемо општи случај када ни

p

ни

k_{1}

не садрже дату тачку

А

. Означимо са

i

круг са центром

А

и произвољног полупречника

r

. Посматраћемо инверзију

ψ_{i}

у односу на тај круг

i

. Како

A

∉

p

А

∉

k_{1}

тада су слике

p'

k_{1}^{'}

кругови и то

A

∈

p'

A

∉

k_{1}^{'}

. А како

A

∉

k

, то је

k'

права која не садржи

A

. Права

p

и круг

k

имају једну заједничку тачку па то важи и за њихове слике тј. права

k'

је тангента круга

p'

.
Аналогно, права

k'

је тангента круга

A

∉

k_{1}^{'}

.
Дакле, задатак смо свели на конструкцију заједничке тангенте

k'

кругова

k_{1}^{'}

p'

. Тражени круг

k

је

k = ψ_{i}^{-1} (k') = ψ_{i} (k')

.
Приметимо да нисмо користили да су

p

k

права и круг, већ да су њихове слике

p'

k'

кругови. Али

p'

k'

би били кругови и у случају када су и

p

k

праве или када су и

p

k

кругови, а

A

∉

p,k

.
Дакле, четврти и шести проблем се решавају на потпуно аналоган начин како и пети.

4) Конструисати круг који садржи дату тачку и додирује дате две праве ( $A, p, q$ ).

Уочимо круг

l(A,r)

, где је

r

произвољан полупречник и посматрамо инверзију

ψ_{l}

. Како праве

p

q

не садрже центар инверзије, то се оне сликају у кругове

p'

q'

који садрже тачку

A

. A како круг

k

садржи тачку

A

он се пресликава у праву

k'

. И то, како се

p

k

додирују и

q

k

се додирују, то се и њихове слике

p'

к'

тј.

q'

k'

додирују, тј.

k'

је заједничка тангента кругова

p'

q'

. Дакле, тражени круг

k

је

k = ψ_{l}^{-1} (k') = ψ_{l} (k')

.

6) Конструисати круг који садржи дату тачку и додирује дата два круга ( $A, k_{1}, k_{2}$ ).

Уочимо круг

l = l(A,r)

, где је

r

произвољан полупречник и посматрамо инверзију

ψ_{l}

. Како круг

k

садржи центар инверзије

A

то се он пресликава у праву

k'

, и та права је одређена пресечним тачкама

B

C

кругова

l

k

. Кругови

k_{1}

k_{2}

не садрже центар

A

, па се они пресликавају у кругове

k_{1}^{'}

k_{2}^{'}

који не садрже

A

. Приметимо још да како се кругови

k_{1}

k

тј

k_{2}

k

додирују, то се и њихове слике

k_{1}^{'}

k'

, односно

k_{2}^{'}

k'

додирују. Премат томе,

k'

је заједничка тангента кругова

k_{1}^{'}

k_{2}^{'}

. Дакле, круг

k

одређен је тачкама

A

B

C

, где тачке

B

C

добијамо као пресечне тачке праве

k'

и круга

l

.

Oсми, девети и десети проблем решавамо конструкцијом концетричног круга у односу на тражени, и то такав да садржи центар датог круга са најмањим полупречником, и тиме проблем редом сводимо на четврти, пети и шести.

9) Конструисати круг који додирује дату праву и дата два круга ( $A, k_{1}, k_{2}$ ).

Нека је

k_{1} (O_{1}, r_{1}), k_{2} (O_{2}, r_{2})

и нека је

r_{1} < r_{2}

. Уочимо круг

l=l(O_{}, {r+r_{}}_{1})

. Тада круг

l

додирује праву

p'

која је паралелна правој

p

и на растојању

r_{1}

од ње. Нека је

k_{2}^{'} = k_{2}^{'} (O_{2}, r_{2} - r_{1})

, тада

k_{2}^{'}

додирује

l

. Дакле,

l

садржи тачку

O_{1}

, додирује праву

p'

и круг

k_{2}^{'}

, тиме смо проблем свели на пети проблем.

8) Конструисати круг који додирује дате две праве и дати круг ( $p, q, k_{1}$ ).

Уочимо круг

l=l(O_{}, {r+r_{}}_{1})

. Како

k

додирује праве

p

q

, онда круг

l

додирује праве

p'

q'

за које важи

p||p'

q||q'

, и

d(p,p')=d(q,q')=r

. Дакле, круг

l

додирује праве

p'

q'

и садржи тачку

O_{1}

, koja je центар датог круга

k_{1}

. Тиме смо проблем свели на проблем 4.

10) Конструисати круг који додирује дата три круга ( $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ ).

Нека је

k_{1} (O_{1}, r_{1}), k_{2} (O_{2}, r_{2}), k_{3} (O_{3}, r_{3})

и нека је

r_{3} < r_{1}

r_{3} < r_{2}

. Уочимо круг

l=l(O_{}, {r+r_{}}_{3})

и кругове

k_{1}^{'} = k_{1}^{'} (O_{1}, r_{1} - r_{3})

k_{2}^{'} = k_{2}^{'} (O_{2}, r_{2} - r_{3})

. Тада круг

l

садржи тачку

O_{3}

и додирује кругове

k_{1}^{'}

k_{2}^{'}

. Дакле, задатак смо свели на проблем 8.

Десет Аполонијевих проблема
Индекс	Код	Дати елементи	Број решења
1	ТТТ	три тачке	1
2	ТТП	две тачке и права	2
3	ТТК	две тачке и круг	2
4	ТПП	тачка и две праве	2
5	ТПК	тачка, права и круг	4
6	ТКК	тачка и два круга	4
7	ППП	три праве	4
8	ППК	две праве и круг	8
9	ПКК	права и два круга	8
10	ККК	три круга	8

Аполонијеви проблеми о додиру кругова

Десет Аполонијевих проблема